次の論文を読んだ．

Olkin, I., & Pratt, J. W. (1958). Unbiased estimation of certain correlation coefficients. The Annals of Mathematical Statistics, 29(1), 201–211. DOI: doi.org/10.1214/aoms/1177706717

p 次元正規標本下で，（種々の）相関係数のUMV不偏推定量を与える，という内容である．

１．導入

二変量正規分布を観測した際の相関係数を不偏推定する問題（第２節）とその 変量への拡張（第３節）を考える．いずれの場合も，推定量は完備十分統計量の関数になるから，不偏推定量の中で分散が最小であることが結論として得られる．完備十分統計量の狭義単調増加関数で，そして元の統計量より のオーダーでしか変化しないため，漸近分布は変わらない．

第４節では不偏推定量が負の値を取り得て，推定したいパラメータである相関係数の値域よりも広くなっている点だけが違う．

しかしいずれの不偏推定量も，Laplace変換を逆に解くことで求まる．謝辞には William Kruskal と Leonard Jimmie Savage の名前がある．

２．相関係数

を観測し，これらの相関係数 を推定する問題を，(i) まずは のみを既知として， (ii) 続いて全ての母数が未知として，考える．

十分性と対称性から，標本相関係数 の奇関数 のみを候補として探せば良い． の密度関数を用いて， が含意する条件を探すと，実は が奇関数であることが含意されており，さらに

が必要であることが判る，ただし は超幾何関数．

ここの議論がすごすぎる，どうして計算が進められると気がついたんだ！素晴らしい．基本的に

1. の係数比較をして積分等式を得る．
2. 両側Laplace変換を逆に解くことで に関する等式に変換する（ここで超幾何関数が登場）．
3. 超幾何関数の公式を用いて を複数通りに表すことで， の性質を見る．例えば狭義単調増加である．

これを見れば，[Karch, J. 2020] に言う「計算が難しいから使われていなかった」も当然だろう．

ところで平均が未知の場合でも標本相関係数は完備十分なのか！

そして の漸近分布は，

がコンパクト一様に成り立つから， となり， は と漸近同等である．よって の漸近分布は ．

超幾何関数の再帰公式を用いて， の数値表を作って添付してある．この際の数値計算の方法について紙面を割いて議論してある．

2.3 偏相関係数

偏相関係数の不偏推定量も前述の議論から直ちに得られる．

３．級間相関係数

とし， の 個の列ベクトルは多変量正規分布 の独立標本で，

と表せるとする．すなわち，成分 は

とする．

４．多重相関係数

平均 のみを未知とした のサイズ 独立標本から，多重相関係数

を不偏推定する問題を考える． ， を の余因子とした．